В этом фразеологизме слово cachet употребляется в значении, в современном французском языке уже устаревшем.
Оно обозначает учетную карточку или талон такой карточки, который ученик вручал своему преподавателю после каждого полученного от него частного урока.
На основании этих талонов по истечении определенного срока производили расчет, и преподаватель получал причитающуюся ему за уроки сумму.
Cachet в упомянутом выше значении встречается также в фразеологизме payer au cachet платить поурочно (преподавателю).
...il n'avait pas d’autres revenus que ses appointements et ses cachots. Courir le cachet à cet âge!... (Balzac).
Je saurai me tirer d’affaire. Je travaillerai, je courrai le cachet, s’il le faut (E. Вrieux).
Je saurai me tirer d’affaire. Je travaillerai, je courrai le cachet, s’il le faut (E. Вrieux).
