Существительное justice в первом значение этого выражения употреблено в смысле - виселица, встречавшемся в старофранцузском языке.
Ассоциативная связь justice - правосудие и justice - виселица, очевидно, объясняется тем, что виселица долгое время в истории Франции, так же как и многих других стран, являлась основным орудием казни.
Таким образом, буквальное значение фразеологизма было бы упрямой как виселица, (подраз. как столб для виселицы).
Второе значение фразеологизма построено на ином образе. А. Тиммерман объясняет его тем, что часто пьяные, пытаясь скрыть свое нетрезвое состояние, стараются держаться прямо (raide) и этим как бы напоминают судей во время заседания.
Les juges, nonchalamment accoudés ou adossés, devinrent en un instant raides comme la justice (H. Parmelin).
Ces noceurs-là étaient raides comme la.